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  • 李海东:“理解数学”是教好数学的前提
  • 作者: 来源: 时间:2012-12-18 14:48:53 阅读次 【
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                        人民教育出版社中学数学室 李海东

    “中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第五次课题会议,于2009年11月8日~10日在湖北省荆州市召开。会议以“平方差公式”为题,由湖北襄樊市襄阳区城关一中朱小平老师、江苏南通市平潮高级中学陆志强老师各上了一堂现场研究课;以“用频率估计概率”为题,由荆州市实验中学李宜红老师、广州市番禺区星海中学罗朝红老师各上了一堂现场研究课。会前,全体成员按照课题组的要求作了精心准备,每一位一线教师都提供了教学设计,承担研究课的地区都组织了多次专门的教研活动,经历了“教学设计—试教—讨论—再设计”的过程。因此,提供给大会的是各地区的集体研究成果。研究课后,课题组成员对这几堂课进行了实事求是的点评,全体成员畅所欲言,坦诚地发表自己的意见和建议,对教学设计和课堂教学的成败得失进行了客观的分析。这几节课和点评,特别是对教学内容的解析和教学处理的点评,对与会成员和现场观摩的教师都具有较大的启发和借鉴作用。会后,课题组绝大部分成员进行了深入的反思。现将本次会议会上讨论和会后反思的成果整理出来,以供研究和讨论。

    “核心概念”是本课题研究的重点内容,我们课题组教学设计框架中第一条就是“内容和内容解析”,是要在揭示概念内涵的基础上,说明概念的核心之所在,并要对概念在中学数学中的地位进行分析,其中隐含的思想方法要作出明确表述。在此基础上阐明教学重点。这也就是要求我们首先要理解数学。理解数学就是要了解数学概念的背景,掌握概念的逻辑意义,理解内容所反映的思想方法,把握概念的多元联系表示,挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源。

    一、理解教学内容,弄清“是什么”

    本次会议的“用频率估计概率”的研究课的内容是很有代表性的。“统计与概率”是本次课改的新增内容,也是老师们所不熟悉的内容,教师对教学内容的理解和把握相对“代数”“几何”要差一些,教师讲课的底气明显不足,甚至有一些科学性错误,参加研讨的一线教师也大部分不敢发言,惟恐自己说错。北京市东城区教研员雷晓莉,吴晓燕老师在会议结束后,针对课堂上出现的问题也调查了一些初中数学教师,得出的结论是大家对“用频率来估计概率”的教学内容的认识理解有欠缺,需要“提高概率统计的专业素养”。

    对于用频率估计概率,人教版教科书的相关描述为“一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率P(A)=p”。概率的频率定义,反映了在大量重复试验的条件下,随机事件发生的频率的稳定值就是概率的性质。其中既有频率的随机性(每人每次试验都是变化的),也有频率的规律性(也就是稳定性)。对于这个定义的内涵,北师大张淑梅老师,人教社张唯一、王嵘老师,北京雷晓莉、吴晓燕老师在他们的反思文章都有阐述。在教学中,要特别注意避免以下理解:

    (1)“频率的稳定值就是概率的估计值”。事实上,频率的稳定值就是概率,但是在很多时候,我们无法仅从试验中知道频率的稳定值具体是多少。

    (2)“随着试验次数的增加,频率就越来越接近于概率”。事实上,定义中的频率稳定于概率并不是说频率的极限就是概率,而是频率依概率收敛于概率。即满足大数定律:设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为p,也就是说,只要n充分大,那么频率估计概率的误差就可以如所希望的小。

    (3)“用频率估计概率,一定要大量重复试验”。事实上,频率总是可以作为概率的估计的,试验次数的多少只是影响估计的精度。在有些实际问题中,对估计精度的要求不同,再加上试验条件的限制(比如破坏性的试验),试验次数是随实际问题而定的。

    (4)“必然事件与概率为1等价,不可能事件与概率为0等价,随机事件的概率大于0而小于1”。这种说法仅是对于古典概型成立, 随机事件的概率是0≤P(A )≤1。必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0,但概率为1 的事件不一定是必然事件,概率为0的事件也不一定是不可能事件。例如向平面内投一质点, 该质点落在平面内某点A 的概率为0,落在平面内除点A 处以外的其他点的概率为1,但它们是随机事件。

    在日常教学实践中,不能只关注于研究“怎么教”的问题,认为“教什么”的问题教材已经给出答案,即教材上的内容就是教师所要“教”的内容。“要给学生一杯水,老师需要有一桶水”。为了提高对数学的理解水平,我们应注意开阔视野,要从教科书、教参、教辅等局限中跳出来,扩展到更高层次,在高观点指导下理解中学数学。例如,为了更好地理解概率统计内容,应阅读一些大学概率统计教材;为了提高自己的教学反思水平,应阅读一些数学教育、教学、心理方面的理论著作;等。

     

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