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  • 初中数学新课程标准解读(二)
  • 初中数学教学内容分析-关于函数定义的分析
  • 作者: 来源: 时间:2013-3-20 10:56:01 阅读次 【
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               一、函数概念的发展

      从古希腊到十七世纪末这样一个漫长的时期内,并不存在一般函数的定义,就是到了牛顿、莱布尼兹的微积分问世时,函数的一般定义仍没诞生,原因在于:数学家们一直同具体的函数打交道,对具体函数求导、积极分、讨论各种各样的问题,并没有感到定义一般函数概念的需要和动机。

      "function"这个词来自于莱布尼兹,他首先用"function"表示"幂",后来他又用它表示曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的几何量,莱布尼兹的两次定义,正反映出函数的几何的和代数的特性。

      1718年,莱布尼兹的学生约翰·贝努利继承了代数的思想,把"function"的含义固定在"解析表达式上",他说:"所谓变量的函数,就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式"。而欧拉则继承了几何的思想,认为"function"思想指任意画出的曲线,并把这种函数叫"随意函数"。

      这时出现了争论,欧拉认为函数是指任意的曲线,即任意曲线都是函数。而达朗贝尔则认为不是这样,他从解析式出发认为,只有可以用单一解析式表达的曲线才是函数,而且认为 能用单一解析式表达的曲线只有连续且光滑的曲线。因而,只有连续曲线才是函数。可以看出,两位数学家争论的焦点在于曲线与解析式之间的关系,欧拉认为他的定义更广泛,因为任意描画的曲线比任意解析式具有更广的意义,解析表达式可以描为某曲线,而任意曲线不一定有相应的解析式。达朗贝尔则认为只有连续曲线才能用唯一的解析式表达,才是函数,至于任何唯一解析式的所代表的曲线是否连续,他则没有考虑。

      然而,付里叶的研究使数学界大吃一惊,付里叶的结论是:"由不连续曲线给出的函数,可以用一个三角函数式表示,"并举例指出下图那样的不连续曲线虽然用

      

    这单一的式子表示出来。  

      

      付里叶的研究表明:在解析式与曲线之间并没有不可逾越的鸿沟,通过级数可以把它们相互勾通。那种视函数为解析式的观点终于得以澄清。历史的缩影可以在学生的学习中找到,中学生把函数与解析式等同是及其普遍的。

      既然函数不再要求用唯一的解析式来表示,所以,无论y是用一个式子还是用多个式子表示都无关紧要,只要对于x的每一个值,y有完全确定的值与之对应,则y就是x的函数,柯西便给出了函数如下定义:对于x每个值,如果y有完全确定的值与之对应,则y叫做x的函数。

      由于认识到了解析式对于x与y的关系并无多大意义,所以黎曼和狄里克需更进一步,他们完全抛弃解析式的限制,定义了我们所常说的结论的函数定义:对于x的每个值,如果y有完全确定的值与之对应,不论x、y所建立的对应方式如何,y都叫做x的函数。

      至此,函数y已可以任意取值。然而,自变量的取值却受为约束,这里自变量所能取的值总是一个区间,且自变量总被认为是连续取值的,这显然是一种人为的限制,于是数学家又摆脱了这个限制,指出:

      "对于函数f(x)中的自变量x,不必取区间[a,b]上的所有值,而只取其中的任意一些就可以了,换言之,作为x,如果允许在取数中的任意集合,那么不管这些数是有限个还是无限个都是允许的。

      但函数的定义仍有不足之处。首先,变量x与y的取值范围都是数集;其次,函数是以变量为原始概念的,一开始变量又与物理运动相联系的,其意义狭窄不说,而且离开运动而单独去谈变量显然是无意义且又是模糊的,这些被维布伦和林纳所发现,他们便通过对变量进行定义,相应地定义了变域、常量、变量的值等等,在此基础上重新定义了函数。

      所谓变量就是代数某集合中任意一个"元素"的记号,组成这一集合的元素既可以是数,也可以不是数。变量x所代表的"元素的集体"叫做这个变量的变域,常量是特殊的变量,它是上述集合中只包含一个"元素"情况下的变量,由变量x所代表的任意的元素,叫做这个变量的值,于是他们接着定义函数为:

      "在变量y的集合与另一变量x的集合之间,如果存在着'对于x的每个值,y都有确定值与之对应'这样的关系,那么变量y叫做x的函数"。

      数集到数集的映射,就是古典数学的函数定义,"数集"与"集"仅一字之差,但含义却有本质的区别,它把函数的古典概念推进到现代集合论的范畴中来,实现了函数概念的重大解析,在现代数学中,常不区别映射,函数、变换,算子,视它们为同义语,按学科的需要而使用。中学数学中把函数归结为数集到数值的映射,正是为了衔接现代数学的需要。

      尽管如此,函数的定义仍然是不严格的:函数概念进入了集合论范畴,就应该纯粹地使用集合论语言。在函数定义中,X,Y是集合,但从X到Y的"对应"是对外来的,不是集合论本身的语言,且在集合论中"集合"是原始概念,不加定义,数学家们希望一切数学概念应从原始概念派生、发展而来。"对应"未经定义而使用,在数学中显然是不允许的,所以数学家们完全运用集合论的语言,在定义"有序"、"有序组"、"笛卡尔积"、"关系"以后,把函数定义为特殊的关系,这样就回避了"对应"这一未加定义的术语。

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