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  • 初中数学新课程标准解读(三)
  • 初中数学教学内容分析-中学几何教材体系分析
  • 作者: 来源: 时间:2013-3-26 15:33:27 阅读次 【
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                                  一、欧几里得公理体系

      公理化方法渊源于几何学,而几何学起源于埃及。

      埃及的尼罗河,帮助人们积累了丰富的几何知识,但是并没有组成一门系统的科学。后来希腊和埃及通商,于是几何知识渐渐传入希腊,希腊的许多学者对这些知识进行了研究,特别是希腊数学家欧几里得搜集了当时已有的几何材料,按照逻辑的系统,编成了《几何原本》(Elements)一书。这本书内容丰富,结构严谨,对于几何学 的发展和几何学的教学都起了巨大的作用,它被人们赞誉为历史上的科学杰作。

      欧几里得的《几何原本》,原说有15卷,经后人多方面考证,公认只有13卷,15世纪以后,印刷《几何原本》的版本甚多,现在一般推希别尔克(Heibrg)与蒙奈(Menge)于1883-1889年的版本为标准版本,下面就据此版本介绍欧氏几何公理系统。

      《几何原本》13卷的内容主要是:

      第一卷:给出定义、公设和公理,讨论有关三角形全等、边角关系、垂直线、平行线、平行四边形以及等积问题等定理及其证明。

      第二卷:讨论线段的运算,包括黄金分割定理。

      第三、四卷:讨论圆的性质和圆的内接、外切多边形。

      第五、六卷:讨论比例理论和相似多边形的性质。

      第七、八、九卷:纯粹是讨论算术的篇章,包括欧几里得辗转相除法。

      第十卷:讨论不可公度量的分类和它们的几何运算,包括整数开平方的几何运算。

      第十一、十二、第十三卷:讨论几何的内容。

      从这个简单介绍可以看到,目前属于初等几何学的内容和方法,基本上都已包括在《几何原本》中了。它所以能在两千多年的时间中被长期公认为几何学的标准教科书,就在于它的相当严密的体系和丰富的内容。

      (一)欧几里德公理系统

      欧几里得的《几何原本》,是公理化方法的雏型。欧几里得从点、线、面等最基本的概念和最简单的关系的分析中,提炼出5条公设和9条公理。由此出发,运用演绎的方法,并借助于图形的直观,把当时所知的几何学知识,组成一个有机的整体。

      具体地说,欧几里得在《几何原本》中采用了以下的结构形式。

      首先,指明了几何学的研究对象,即点、线、面等。在第一卷开端给出了23个定义。

      定义1点是没有部分的。

      定义2线有长度而没有宽度。

      定义3线的界限是点。

      定义4直线是这样的线,它对于它的任何点来说,都是同样地放置着的。

      定义5面只有长度和宽度。

      定义6面的界限是线。

      定义7平面是这样的面,它对于它的任何直线来说,都是 同样地放置着的。

      接着,介绍关于角、平角、直角和垂线、钝角、锐角、圆、圆周和中心、直径、半圆、直线形、三角形、四边形、多边形、等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、正方形、菱形、梯形等15个定义,为节省篇幅,这里就不一一列出了。最后一条是关于平行线的定义。

      定义23平行线是在同一平面上而且向两侧延长总不相交的直线。

      其次,欧几里得把少数不加数学证明而直接采用的命题作为公设和公理。

      《几何原本》中采用的公设有5条:

      公设1从一点到另一点必可引直线。

      公设2任一直线均可无限制地延长。

      公设3以任一点为中心,任意长线段为半径可以作圆。

      公设4所有直角都相等。

      公设5若两直线与第三直线相交,其一侧的两个内角之和小于两直角时,则把这两条直线向该侧充分地延长后一定相交。

      (说明 这是著名的第五公设,它与"直线外一点只能引一条直线与已知直线平行"是等价的,所以又有"平行公设"之称。)

      《几何原本》中采用的公理有9条:

      公理1各与同一个第三个量相等的量必相等。

      公理2相等的量加上相等的量仍为相等的量。

      公理3相等的量减去相等的量仍为相等的量。

      公理4不等的量加上相等的量获不等的量。

      公理5相等的量的两倍仍为相等的量。

      公理6相等的量一半仍为相等的量。

      公理7能互相重合的量一定是相等的量。

      公理8整体大于部分。

      公理9 过任意两点只能引一直线。

      最后,欧几里得从上述公设和公理出发,运用演绎方法,把当时所知的几何学知识全部推导出来。《几何原来》中得出的各种几何命题,即通常所谓的定理,共有467条之多。

      在历史上,公设和公理是有区别的。一般认为,公理是算术与几何所共有的,公设则仅为几何学所有;公理本身是十分自明的,公设也是不加证明而承认的,但没有公理那样自明。现代公 理论者对公设和公理已不加区分,概用公理一词来替代。

      特别值得注意的是《几何原本》第一卷有48个命题叙述了三角形全等的条件、垂线、外角定理、三角形的边角不 等关系等,但是从命题27开始叙述平行理论,而从命题29起才用到第五公设。

      命题27如果一直线和两条直线相交,所成的内错角相等,那么这两条直线平行。

      命题28如果一直线和两条直线相交,所成的同位角相等,那么这两条直线平行。

      命题29如果一条直线与两条平行直线相交,那么所成的内错角相等,同位角相等,同旁内角之和等于二直角。

      非常有趣的是,对第五公设是否独立的研究导致了非欧几何的发现,由于第五公设在内容和陈述上的复杂和累赘,加之它在《原本》的前28个定理的证明中并未用到,引起古代学者们的 怀疑:第五公设是不是多余的,它能不能从其他公设、公理逻辑地推导出来?甚至认为,欧几里得之所以 把它当作公设,只是因为他未能给出这一命题的证明,以致学者们纷纷致力于证明第五公设。在欧几里得 以后的两千多年时间里,几乎难以发现一个没有试证过第五公设的大数学家。

      所有这些证明,一般都利用了直觉性,都不加证明地承认了 某个与第五公设等价的命题,例如,在锐角一边上的垂直线和倾斜线永远相交;通过角内的每个点至少可以作 一条直线与其两边相交;平面上不相交的直线不能无限制地彼此远离;至少存在两个相似的三角形,等等。

      直到1826年俄国几何学家罗巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky,1792~1856)发现非欧几何--罗氏几何为止, 才肯定了第五公设与欧氏系统的其余公理是独立无关的。

      应当指出,独立地发现罗氏几何的还有大数学家高斯(K.F.Gauss,德,1777~1855)和匈牙利青年大学生波约(J.Bolyai,1802~1860)。但是,高斯由于害怕学术界顽固守旧 势力的攻击而始终不敢公开发表自己的研究结果。

      (二)从数学教育的角度看,欧几里得的逻辑结构是串联型而不是放射型的,《几何原本》的每一节都那么重要,一节学不好,继续前进的路就断了,更令人头痛的是它没有提供一套强有力的、通用 的解题方法。主要解题工具是三角形的全等和相似,而许多几何图形中不包含全等或相似三角形,因此往往 要作辅助线,从而几何被公认为难学的一门课程。

      (三)欧几里得的逻辑结构与整个数学大系统匹配得不好:它既不以小学所学的几何知识为发展的基础, 又不以代数知识为工具,更没有为解析几何和高等数学的出现打下伏笔。

      这些当然不能责怪欧几里得,因为当时还不知道实数、三角法、代数里的字母运算以及极端重要的0,解析法和向量一直到十七世纪和十九世纪才出现。惭愧的是我们后人往往习惯于介绍这些方法,把它们分段拼凑在一起,却不关心将这些方法融合在一起,怎样才能使广大中学生更容易地继承古人给我们创造的珍贵遗产,这正是《初等几何研究》所应承担的课题。

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