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  • 品味《用字母表示数》,彰显铿锵数学思想
  • 作者: 来源: 时间:2009-9-3 11:32:29 阅读次 【
  • 《用字母表示数》是苏科版教材七年级第三章的内容,是初一学生刚刚步入中学以来首次遇到的较为抽象的数学知识。通过对本章的学习,能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实,数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心。

    根据《数学课程标准》可知,本章内容要让学生达到如下要求:

    1.             在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。

    2.             能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示。

    3.             能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义

    4.             会求代数式的值,能根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入具体的值进行计算。

    5.             了解单项式,多项式,整式,单项式的系数,同类项等概念,会进行简单的整式加减运算。

    此外,能探索具体问题中的数量关系和变换规律,并能运用代数式进行描述,从而关注各种现实问题中的数量关系,乐于探索规律,并在这样的活动中感受初中数学中的各种数学思想方法。

    本文就这一章节中所蕴含的各种数学思想方法略作总结分析,以飨读者。

    一、数形结合思想

    例1.如图,求防护林带有多长?水渠有多长?(教材第79页)

    蓄水池

           

                                                 

     ━ 防护林

    3a

    -水渠

     

                   4b

    评注:本题以:“计算农田的防护林带、水渠的长度“为问题作为情境创设,目的是引导学生联系生活实际感受“去括号”的必要性及其价值。

    答案为:防护林带长为(3a 3a 4b 4b) (a b)

            水渠长为(3a 3a 3a 4b 4b)-(a b)

    二、  分类思想

    例2.若3 a 2 b3 与-1/5 a|x| b|y|是同类项,且x?/SPAN>y<0,求x y的值(《全程导学与评价》第37页第10题)

    分析:根据同类项的概念:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项是同类项,可知|x|=2,|y|=3。∴x=?/SPAN>2 ,y=?/SPAN>3,又∵x?/SPAN>y<0∴x、y异号,即当x=2时,y=-3;当x=-2时,y=3因此答案易求。

    附注:本题旨在考查学生对于同类项的概念,有理数的乘法及代数式的求值等重要数学方法和分类讨论的重要数学思想,不失为编题才一个别出心裁的创举。

    三、  换元思想

    例3。已知t=-1/2,  求代数式2(t2 -t-1)-(t2 -t-1) 3(t2 -t-1)的值。(教材第78页)

    分析:把一个较为复杂的式子看作一个字母,一个整体,原式可化简为4(t 2-t-1),即可容易求出为-1。

    评注:所谓“换元”,就是用一个较为简单的字母代替较为复杂的代数式,起到事半功倍的效果。并且为以后的学习打下了良好的坚实的基础。

    四、  函数思想

    例4.填表(教材第71页)

    x

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    2x 5

    2(x 5)

    (1)随着x值的逐渐增大,两个代数式的值怎样变化?

    (2)当代数式2x 5的值为25时,代数式2( x 5)的值是多少?

    分析:本题是要求学生在计算代数式的值后提出的两个问题。第1问意在引导学生观察“代数式中字母取值的变化与代数式的值的变化之间的联系”。第2问意在引导学生发现“两个代数式”的值变化过程中的关系(后者总比前者大5),从而,使学生在无意间感受数量的变化有其联系,逐渐渗透了函数思想。

    五、整体思想

    在整式的加减运算或求代数式的值时,若将注意力和着眼点放在问题的整体结构上,把一些较为紧密联系的相关代数式作为一个整体来处理问题,常常能收到事半功倍之效。它常是考虑问题的一种思维策略。

    例5.若代数式x2+x+3的值为7,则代数式2x2+2x-3的值为       (连云港市中考题)

    析解:∵ x2+x+3=7,∴x2+x=4.因此2x2+2x-3=2(x2+x)-3=2?/SPAN>4-3=5。

    评注:(1)若由条件先求出x 的值,再代入2x2+2x-3中计算,对于初一同学来说,那是不可能的,即无法进行运算,这里由条件x2+x=4,再代入求值变形计算,十分简捷;(2)透过课本不难看出,苏科版教材在知识结构编排上密切注意到了这种数学思想的渗透与应用。

    六、 类比思想

    例6.判断下列各题中的两项是不是同类项。

    (1)-2xy 与3yx      (2)   x 2y与xy2

    (《导学与评价》第37页第1题)

    解:(1)是同类项(2)不是同类项

    评注:判断,辨别两项是否是同类项,只需比较两点:(1)所含字母必须相同;(2)相同字母的指数也完全相同。本题中的第(1)小题两项所含字母完全相同的,且相同字母的指数也完全相同,所以是同类项。注意:同类项的区分与字母的书写顺序无关。而第(2)小题中虽然它们所含的字母相同,但相同字母的指数不相同,所以它们不是同类项。

    七、转化思想

    例7.小明的爸爸存入3年期的教育储蓄8500元(3年期教育储蓄的年利率为3.24%, 免缴利息税),到期后本息和自动转存3年期的教育储蓄,像这样到少要储蓄几次才能使本息和超过 10000元,请你如图所示的程序,用计算器帮小明的爸爸算一算.(教材第72页) 

    评注:关于教育储蓄的计算程序图,实际上就是转化为计算当x=8500时,求代数式x(1 3.24%?/SPAN>3)的值。若这个值大于10000,则计算结束;若这个值小于10000,则把它作为新的数值重新输入程序进行同样的计算,直至所得的值大于10000时计算结束。

    八、归纳思想

    人们通过长期观察发现,如果早晨天空中有棉絮状的高积云,那么午后常有雷雨降临,于是归纳出“朝有棉絮云,午后雷雨临”这条谚语。在数学里,我们也常用这种方法探求规律。

    例8.用火柴棒按以下方式搭小鱼(见教材第70页)

    (1)搭20条这样的小鱼用多少根火柴棒?

    (2)搭n 条小鱼用多少根火柴棒?

    分析:通过观察,分析,比较,可以发现如下规律:①搭1条小鱼用8根火柴;②搭2条小鱼用14根;③搭3条小鱼用20根……每多搭1条小鱼增加6根火柴,所以搭20条这样的小鱼可以用122根火柴,于是猜想,搭n条小鱼需要用[8+6(n-1)]根火柴棒

    像这样通过对现象的观察,分析,从特殊到一般地探索这类现象规律(提出猜想)的思想方法称为归纳.

    在日常生活中,人们互相交谈时,常常有人在列举了一些现象后,说”这(即列举的现象)说明……”其实这就是运用了归纳的方法.

    下面再提供两例,请同学们尝试运用归纳的方法探索和解决.

    (1)计算:1+3+5+7+…+2007

    (2)在平面内画50条直线,最多有多少个交点?

    通过以上八种数学思想方法的探讨分析,让同学们在初中阶段的学习中,能够不断满足自己的数学学习需求,这样有利于认识数学的本质,从而可以发展自己数学思考的能力。

     

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